Um triângulo possui dois de seus lados iguais a 3cm e 8cm e o terceiro lado l variando com o tempo. Em um certo instante, o lado l mede 7cm e está aumentando a uma taxa de 3 3   c m / s . Determine a taxa com a qual o ângulo oposto ao lado l está variando neste momento.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Bem, o que a gente consegue extrair de informação desse enunciado, galera?

O primeiro é que temos dois lados de um triângulo com tamanhos fixos e outro que está variando e que queremos saber o ângulo oposto ao lado l .

Qual é o ângulo que está sempre ao lado oposto (CATETO OPOSTO)? Nosso lindão cosseno, certo?

Como conseguimos correlacionar tudo?

Lei dos cossenos!!!

l 2 t = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ θ t

Opa, agora que temos nossa equação que correlacionada tudo, preicamos lembrar o que “taxa de variação” quer dizer. Você se lembra?

Isso tá falando da derivadaaaa!!! Então vamos que vamos aplicar isso!!

Passo 2

Derivando a lei dos cossenos:

l 2 t = 3 2 + 8 2 - 2 × 3 × 8 × cos ⁡ θ t

2 l d l d t = 48   s e n θ d θ d t

Note que quando t = 0 , l = 7   c m (dado do enunciado), podendo encontrar então qual era o ângulo que estava tendo na condição inicial:

l 2 t = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ θ t

49 = 3 2 + 8 2 - 48 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 2

Passo 3

Ter um valor de cos ⁡ θ = 1 2 implica dizer que s e n θ = 3 / 2 no tempo igual a zero, portanto, podemos ter que na nossa derivação:

2 l d l d t = 48   s e n θ d θ d t

A taxa de crescimento de l também foi dado no enunciado, logo:

2 7 3 3 48 3 2 = d θ d t

Logo:

d θ d t = 7 4

Resposta

d θ d t = 7 4

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