Calcule por meio da definição a derivada de f ( x ) = c o t g ( x ) (não é permitido aqui usar a regra de L’Hospital).

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado nos dá a função

f ( x ) = c o t g ( x )

e pede para que calculemos a sua derivada! No entanto, quer que utilizemos a definição de derivada, que é dada através do seguinte limite

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

Ou seja, temos que utilizar a nossa função nesta definição e calcular o limite! Lembrando que não podemos utilizar L’Hospital nesta questão! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar a função dada em

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

Ou seja, usando que f ( x ) = c o t g ( x ) , nós temos que

f ( x + h ) = c o t g ( x + h )

E, portanto, o limite que precisamos calcular é o seguinte

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = l i m h → 0 c o t g ( x + h ) - c o t g ( x ) h

Se eu simplesmente substituir h = 0 na definição, teremos uma indeterminação da forma 0 / 0 .

Então precisamos reescrever este limite de forma a identificar o seu resultado! Vamos começar utilizando algumas identidades trigonométricas! Consegue imaginar alguma? Vem comigo!

Passo 3

Temos que c o t g ( x ) = 1 / t g ( x ) e também temos que t g ( x ) = s e n ( x ) / c o s ( x ) , portanto, podemos escrever que

c o t g ( x ) = c o s ( x ) / s e n ( x )

E, o nosso limite toma a seguinte forma

f ' ( x ) = l i m h → 0 c o t g ( x + h ) - c o t g ( x ) h = l i m h → 0 1 h ( c o s ( x + h ) s e n ( x + h ) - c o s ( x ) s e n ( x ) )

Se fizermos o MMC, podemos reescrever o que está entre parênteses como

f ' ( x ) = l i m h → 0 1 h ( c o s ( x + h ) s e n ( x + h ) - c o s ( x ) s e n ( x ) ) = l i m h → 0 1 h ( c o s ( x + h ) s e n ( x ) - s e n ( x + h ) c o s ( x ) s e n ( x + h ) s e n ( x ) )

Não parece ter melhorado neh? Mas vamos tentar utilizar mais uma identidade trigonométrica! Saca só!

Passo 4

Se lembrarmos que

s e n ( a - b ) = s e n ( a ) c o s ( b ) - s e n ( b ) c o s ( a )

se identificarmos que x = a e b = x + h , podemos reescrever nosso limite como

f ' ( x ) = l i m h → 0 1 h ( s e n ( x - ( x + h ) ) s e n ( x + h ) s e n ( x ) )

Ou, se simplificarmos o numerador, temos que

f ' ( x ) = l i m h → 0 1 h ( s e n ( - h ) s e n ( x + h ) s e n ( x ) ) = l i m h → 0 1 h ( - s e n ( h ) s e n ( x + h ) s e n ( x ) )

já que s e n ( - h ) = - s e n ( h ) . Daqui nós seremos capazes de identificar um limite fundamental, consegue visualizar? Bora lá!

Passo 5

Podemos dividir esta expressão em dois limites da forma

l i m h → 0 1 h ( - s e n ( h ) s e n ( x + h ) s e n ( x ) ) = - l i m h → 0 s e n ( h ) h l i m h → 0 1 s e n ( x + h ) s e n ( x )

Lembrando o seguinte limite fundamental

l i m h → 0 s e n ( h ) h = 1

E, utilizando isso para avaliar nosso limite em h = 0 , temos que

- l i m h → 0 s e n ( h ) h l i m h → 0 1 s e n ( x + h ) s e n ( x ) = - ( 1 ) 1 s e n ( x + 0 ) s e n ( x )

Portanto, apenas reescrevendo estes termos, temos que

f ' ( x ) = - 1 s e n 2 ( x ) = - c s c 2 ( x )

em que usei que 1 / s e n 2 ( x ) = c s c 2 ( x ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ' ( x ) = - c s c 2 ( x )

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