Derive:

i) y = 3 x + 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = 3 x + 1 , logo f x + h = 3 x + h + 1 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 - 3 x + 1 h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h

Veja que se fizermos h = 0 , ou seja no ponto, teremos uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h = 3 x + 1 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h = lim h → 0 ⁡   d d h 3 x + h + 1 d d h h

Lembra como era derivada de uma função composta? É chamado de regra da cadeia, e funciona mais ou menos assim, saca só:

d d x f g x = f ' g x * g ' x

Mas como isso é parecido com o que temos? Porque temos uma função dentro de uma raiz, então podemos tomar a raiz como uma função. Temos

d d h 3 x + h + 1 = d d h 3 x + h + 1 1 2  

Mas pra função raiz a regra de derivação é a regra do tombo, lembra como era?

d d x x n = n * x n - 1

Assim:

d d h 3 x + h + 1 1 2   = 1 2 3 * 3 x + h + 1 - 1 2 = 3 2 3 x + h + 1

Assim vemos que o nosso limite agora fica

lim h → 0 ⁡   3 2 3 x + h + 1 1

Agora sim, veja que se fizermos h = 0 , ou seja, no ponto, temos:

lim h → 0 ⁡   3 2 3 x + h + 1 1 = 3 2 3 x + 1

E achamos o resultado do nosso primeiro limite. Vamos para o segundo?

Para o segundo:

lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h

Novamente, veja que se fizermos h = 0 dará uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h = 1 0

Mais uma vez aplicando a regra de L’hospital

lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h = lim h → 0 ⁡   d d h 3 x + 1 d d h h

Mas veja que 3 x + 1 não depende de h , e sabemos que a derivada é a variação, logo a variação de algo constate é 0 . Assim d d h 3 x + 1 = 0 ,e, portanto:

lim h → 0 ⁡   d d h 3 x + 1 d d h h = lim h → 0 ⁡ 0 1

E, portanto:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos o valor do nosso segundo limite.

Agora vamos descobrir como é a nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 4

Assim, tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h

Mas vimos que:

lim h → 0 ⁡   3 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡   3 x + 1 h = 3 2 3 x + 1 - 0

Portanto, concluímos que:

f ' x = 3 2 3 x + 1

E achamos, portanto, a derivada de f x = 3 x + 1

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = 3 2 3 x + 1

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