Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio é:
Passo 1
Começamos na definição da derivada:
Agora temos que aplicar e na função , assim como temos no numerador da definição .
Passo 2
O problema é ter que abrir um polinômio elevado a .
E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Lembra do Binômio de Newton? Ele encontra regularidades que facilitam a representação do polinômio. Em outras palavras, ele vai nos ajudar a escrever a parte de outra forma.
Então, usando o Binômio de Newton teremos,
Então, galera, surgiram alguns termos que a gente não estava esperando né? Mas vamos lá!
Agora vamos como calma!
Para , temos
Para, temos
Para , temos
Sendo que nós temos todos esses termos em um somatório, né? Então fica assim,
Substituindo na definição:
Repara que o cancela com do final:
Passo 3
Repara que sempre terá pelo menos um multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse em cada termo:
Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de , restando só o primeiro termo, que não multiplica por . Deste modo,
Assim, a derivada de será !
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)