2. Em cada item abaixo, determine f ' x .

e. f x = e x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para acharmos essa derivada, vamos usar a definição de derivada.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é o nosso f x .

f x = e x

Agora vamos aplicar na fórmula:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ e x + Δ x - e x Δ x

Usando a seguinte propriedade de exponencial

e a . e b = e a + b

Podemos escrever,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ e x . e Δ x - e x Δ x

Colocando e x em evidencia, ficamos com

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ e x ( e Δ x - 1 ) Δ x

Agora podemos reescrever o nosso limite como sendo um produto de limites,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ e x ( e Δ x - 1 ) Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x . lim Δ x → 0 ⁡ ( e Δ x - 1 ) Δ x

Pelo limite fundamental exponencial, temos que

lim Δ x → 0 ⁡ ( e Δ x - 1 ) Δ x = 1

Logo,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ e x ( e Δ x - 1 ) Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x

f ' x = e x

Prontinho!

Resposta

e x

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