Em cada um dos itens abaixo, encontre a derivada da função usando a definição:

c) f x = x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função usando a definição de derivada, que é dada pela equação:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Dessa forma, consideramos a variável h para o cálculo do limite, x é considerado temporariamente uma constante. Então, vamos substituir f ( x ) na equação e verificar o valor da derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Colocando f x = x na definição, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h

Vamos multiplicar a função pelo conjugado x + h + x x + h + x :

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h ∙ x + h + x x + h + x

Multiplicando termo a termo, vamos obter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h x + h + x

Simplificando:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h h x + h + x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h + x

Agora podemos substituir h = 0 na função:

f ' x = 1 x + 0 + x

E temos:

f ' x = 1 2 x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' x = 1 2 x

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