Mostre a partir da definição de derivada que

  1. d d x cos ⁡ x = - s e n x

Passo 1

E aí, galerinhaaa! Primeiro de tudo a gente precisa lembrar qual é a definição de derivada, certo?

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Nesse nosso caso quem é f ( x ) ? Tcharammmm é a nosso lindão c o s ⁡ ( x ) !! Por sua vez, f x + h = c o s ⁡ ( x + h ) . Então

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ c o s x + h - c o s x h

Opa, mas está vendo aí que surgiu um cos ⁡ x + h e que esse cara tem uma fórmula que diz que

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n b

Portanto, temos que:

cos ⁡ x + h = cos ⁡ x cos ⁡ h - s e n x s e n ( h )

Logo

d d x cos ⁡ x = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - s e n x s e n h - c o s ⁡ ( x ) h

Passo 2

Agora a gente vai partir pra manipulação!!

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ c o s x + h - c o s x h

lim h → 0 ⁡ c o s x + h - c o s x h = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - s e n x s e n h - c o s ⁡ ( x ) h

Sabemos que lim ⁡ A - B = l i m A - l i m B

Então, usando essa propriedade vamos ter:

l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - s e n x s e n h - cos ⁡ x h = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - cos ⁡ x h - l i m h → 0 s e n x s e n h h v

A gente antes pode ainda deixar o c o s ⁡ ( x ) em evidência, tendo:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - lim h → 0 ⁡ s e n x s e n h h

Agora vamos tirar os termos independentes de h do limite, porque eles são constantes pra h

cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h - s e n x lim h → 0 ⁡ s e n h h

Passo 3

Uma das simplificações que podemos utilizar aqui é que:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

lim h x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

Essas relações você precisa ter no seu sangue, beleza??!

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - lim h → 0 ⁡ s e n x s e n h h

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ - cos ⁡ x 1 - c o s ⁡ ( h ) h - lim h → 0 ⁡ s e n x s e n h h

d d x cos ⁡ x = - cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x h x h - s e n x lim h → 0 ⁡ s e n h h

d d x cos ⁡ x = - cos ⁡ x × 0 - s e n x × ( 1 )

d d x cos ⁡ x = - s e n ( x )

Resposta

Demonstração

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