05) Seja f x =   3 - x 2     ,                     x < 1 1 x             ,             x ≥   1                 f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho?

Esse exercício é bem direto, ele nos dá uma função definida por partes e nos pede para verificar se f é diferenciável e se é contínua no ponto x = 1 .

Bom, para respondermos isso precisamos lembrar que uma função diferenciável em um ponto p   possui o seguinte limite como existente e finito:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p

Para que esse limite exista, os limites laterais precisam também ser iguais, ou seja:

lim x → p - ⁡ f x - f p x - p =   lim x → p + ⁡ f x - f p x - p

Beleza, se isso for verdade então a gente já pode dizer que a função é diferenciável, aí já matamos metade da questão!

Pra responder a segunda parte, caso ela seja diferenciável, podemos, logo de cara, afirmar que ela também será contínua (isso é o que afirma um teorema bem importante que não pode esquecer).

Agora se ela não for diferenciável, vamos precisar recorrer aos nossos limites laterais para testar se a função vai ser contínua ou não.

Bom, chega de enrolação e vamos pras continhas 😊

Passo 2

Vamos começar verificando a diferenciabilidade. Então:

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 3 - x 2 - 1 1 x - 1   = lim x → 1 - ⁡ 3 - x - 2 2 x - 1

= lim x → 1 - ⁡ 1 - x 2 x - 1

Mas:

1 - x x - 1 =   - 1

Então:

lim x → 1 - ⁡ 1 - x 2 x - 1 =   - 1 2

Massa, agora vamos calcular o outro limite lateral:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x - 1

Beleza, pra resolver esse limite vamos lembrar daquele produto notável que usamos direto, a diferença de quadrados:

a 2 - b 2 = a + b a - b

⇒ x - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Quando substituirmos esse resultado no limite, vamos ter que:

lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x + 1 x - 1

Mas:

1 - x x - 1 =   - 1

Então:

lim x → 1 + ⁡ 1 - x x x + 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ - 1 x x + 1

Isso é ótimo, porque conseguimos eliminar o termo que estava trazendo indeterminação. Fazendo então x = 1 , ficamos com:

lim x → 1 + ⁡ - 1 x x + 1 =   - 1 2

Opa, encontramos o mesmo resultado em ambos os limites laterais. Logo, podemos afirmar que f é diferenciável em x = 1 .

Passo 3

Olha que top! Como já sabemos que f é diferenciável em x = 1 , pelo teorema, podemos afirmar que f é também contínua em x = 1 .

Aqui só fica um alerta pra gente ter cuidado ao usar esse teorema, diferenciabilidade implica continuidade, mas continuidade não implica, necessariamente, diferenciabilidade!

Resposta

Sim, f é diferenciável e contínua em x = 1 .

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