Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

f ' a = f a + h - f a h  

  1. f x = x 2 + 1 ,   a = 1

Passo 1

E aí, galerinha! Se você perceber o que o enunciado está pedindo é basicamente para usarmos a definição de derivada nas nossas funções, então olha o que está ali.

f ( a + h ) e f ( a ) '

Vamos substituir isso por f ( x ) pra facilitar nossa vida e entendermos melhor o que iremos fazer.

f ' x = f x + h - f x h  

O que essa definição pede é:

Pegar f ( x ) e acrescentar o valor h toda vez que aparecer o x e depois pegar a f ( x ) e substituir por a para encontrar o valor.

Vem comigo pro segundo passo pra você entender isso melhor!!!

Passo 2

Temos f x = x 2 + 1

Logo se queremos ter uma f ( x + h ) isso quer dizer que precisamos acrescentar o h toda vez que tivermos o x na função, certo?

f x + h = x + h 2 + 1

E agora, vamos calcular

f ( a )

Ou seja, vamos substituir onde tem x por a

f a = a 2 + 1 , mas o enunciado já disse pra gente quanto vale a, certo? Ele vale 1!!! Então se a gente substituir vamos ter:

f a = 1 = 1 2 + 1 = 2

Passo 3

Vamos aplicar a definição agora:

f ' x = f x + h - f a h   = f x + h 2 + 1 - 2 h  

Não podemos aplicar o limite direto porque daria uma indeterminação, então vamos manipular nossa função, ok?

f ' x = x 2 + 2 x h + h 2 + 1 - 2 h  

O enunciado disse que a = 1 , ou seja, onde tem x vamos substituir por a   e substituir seu valor!!

f ' x = 1 2 + 2 h + h 2 + 1 - 2 h  

f ' x = 2 h + h 2 h  

f ' x = h ( 2 + h ) h   = 2

Resposta

f ' x = 2

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