17. Devido a sua conexão com retas secante, tangente e taxas instantâneas, os limites da forma

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ocorrem com frequência em cálculo. Avalie os seguintes limites para os valores dados de x e a função f .

d) f x = 3 x + 1 ,   x = 0

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos calcular o limite

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Com f x = 3 x + 1 e depois substituímos x = 0 .

Passo 2

Para f x + h , temos:

f x + h = 3 x + 1

Substituindo no limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 1 - 3 x + 1 h

Esse ta um pouco mais complicado, né? Mas quando temos uma soma ou subtração de raiz na fração, multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado. Lembrando que o conjugado é só inverter o sinal.

O conjugado de 3 x + h + 1 - 3 x + 1 é 3 x + h + 1 + 3 x + 1 .

Multiplicando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 1 - 3 x + 1 h = lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 1 - 3 x + 1 3 x + h + 1 + 3 x + 1 h 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 1 2 - 3 x + 1 2 h 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= lim h → 0 ⁡ 3 x + h + 1 - ( 3 x + 1 ) h 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= lim h → 0 ⁡ 3 x + 3 h + 1 - 3 x - 1 h 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= lim h → 0 ⁡ 3 h h 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= lim h → 0 ⁡ 3 3 x + h + 1 + 3 x + 1

= 3 3 x + 1 + 3 x + 1

= 3 2 3 x + 1

Agora aplicando o valor de x = 0 :

= 3 2

Resposta

3 2

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