Questão 1.1: Seja f : 0,4 → R uma função contínua tal que f 0 = 1 2 , f 1 = 2 , f 2 = - 3 2 , f 3 = 3 2 e f 4 = - 1 2 . Considere as seguintes afirmações:

(a) A reta y = 1 se intersepta com o gráfico de f exatamente 4 vezes.

(b) A reta y = 1 se intersepta com o gráfico de f pelo menos 4 vezes.

(c) A reta y = 2 se intersepta apenas uma vez com o gráfico de f .

(d) A reta y = - 2 não se intersepta com o gráfico de f .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão foi dada algumas imagens de uma função f entre 0 e 4 . f é uma função contínua e f 0 = 1 2 , f 1 = 2 , f 2 = - 3 2 , f 3 = 3 2 e f 4 = - 1 2 são as imagens que foram dadas para a gente.

Com essas informações, temos que analisar algumas alternativas e assinalar qual é a alternativa que melhor se encaixa na nossa situação.

Entendeu? Como podemos fazer isso? 🤔

Como foi dito que f é contínua, vamos plotar os pontos das imagens dadas no plano cartesiano e ligá-los da maneira mais simples, assim, “esboçamos” o gráfico de f , que vai nos ajudar.

Vamos analisar alternativa por alternativa...

Pronto? 😎

Passo 2

Plotando os pontos e ligando os pontos através de seguimentos de retas, vamos obter algo que poderia ser nossa função f .

No item a) foi dito que a reta y = 1 intercepta f exatamente 4 vezes.

Será mesmo? 🤔

Esboçando a reta y = 1 , temos

Podemos ver que realmente y = 1 intercepta f 4 vezes, porém apenas a partir dos pontos que nos deram. Por exemplo, se em x = 1 / 4 a função for f 1 4 = 3 2 e em x = 3 4 a função for f 3 4 = - 1 ...

Essa é uma possibilidade que faria a reta cortar o gráfico de f mais de 4 vezes e não podemos afirmar que isso não acontece.

Logo, essa afirmação é falsa.

Entendeu? Bora pra outra! 😉

Passo 3

Na alternativa b) diz que a reta y = 1 intercepta f pelo menos 4 vezes.

O que acha? 👀

Como acabamos de discutir no passo anterior. Não sabemos o comportamento da função f nos intervalos entre os pontos dados, portanto, pode ser que a reta y = 1 intercepte f mais que 4 vezes.

Sendo que dizer que a reta intercepta f pelo menos 4 vezes está correto.

Logo, a alternativa b) é a correta!

Vamos continuar analisando as outras alternativas para ver o porquê são falsas.

Partiu? 😁

Passo 4

Na alternativa c) diz que a reta y = 2 intercepta f apenas uma vez.

Suspeito, não é? 👀

Perceba que a função começa em x = 0 com uma imagem de 1 2 e termina em x = 4 com uma imagem de - 1 2 .

Ou seja, se f assumir valor > 2 em algum momento, ela tem que subir e descer assim, interceptando a reta duas vezes.

Ou também pode ser que a função não adquira imagens maior que 2 , fazendo com que a reta não intercepte f nenhuma vez.

Como não temos a definição exata de f , podemos dizer que a alternativa c) é falsa.

Bacana, não é? 😎

Passo 5

E por fim, a alternativa d) diz que a reta y = - 2 não se intersepta com o gráfico de f .

E aí? 🤔

Com base nas afirmações anteriores das alternativas, podemos dizer que essa é falsa pois é possível que f possua imagens menores que - 2 nos intervalos entre os pontos dados, mas que não conseguimos ver.

Então, a alternativa d) é falsa!

Portanto, a alternativa que melhor se encaixa na nossa situação, é a alternativa b)!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

(b) A reta y = 1 se intersepta com o gráfico de f pelo menos 4 vezes.

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
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Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |