7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(e) ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ b - a a 2 , para todos a , b ∈ R , com 1 ≤ a < b ≤ e .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que provar que a inequação ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ b - a a 2 é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ b - a a 2 , então se passarmos o termo b - a dividindo, temos

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a ≤ 1 a 2

Comparando ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a com a equação de f ' c , temos que

f b = ln ⁡ b b

Substituindo b por x

f x = ln ⁡ x x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de f x é dada por

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

Fazendo x = c ...

f ' c = 1 - ln ⁡ c c 2

Substituindo no TVM

f ' c = 1 - ln ⁡ c c 2 = ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

1 - ln ⁡ c c 2 ≤ 1 a 2

Assim, se c está entre a e b e 1 ≤ a < b ≤ e , então 1 < c < e .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

1 - ln ⁡ c c 2 ≤ 1 a 2 ,     1 < c < e

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |