7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(c) ln ⁡ a b ≤ a - b , para todos a , b ∈ R , com a ≥ 1 e b ≥ 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que provar que a inequação ln ⁡ a b ≤ a - b é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função cont��nua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por ln ⁡ a b ≤ a - b , então se passarmos o termo a - b dividindo, temos

ln ⁡ a b a - b ≤ 1

Como a b = a b e ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , então

ln ⁡ a - ln ⁡ b a - b ≤ 1

ln ⁡ a - ln ⁡ b a - b ≤ 1

Se chamarmos a = x , podemos encontrar a função f x como

f x = ln ⁡ x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que a derivada de f x é

f ' x = 1 x

Pelo TVM, temos

f ' c = f b - f a b - a

Assim, se f ' x = 1 x , então f ' c = 1 c

1 c = ln ⁡ a - ln ⁡ b a - b

1 c ≤ 1

Como a e b são maiores ou iguais a 1 , para c fazer parte do valor médio, ele deva ser ≥ 1 também! Portanto, a inequaç��o é válida!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

1 c ≤ 1 ,     c ≥ 1

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |