Seja I   ⊂   R um intervalo. Mostre que se f   :   I   →   R é uma função contínua que não se anula no intervalo I   então ou f ( x )   >   0 para todo x   ∈   I ou f ( x )   <   0 para todo x   ∈   I .

Passo 1

Faaala galera 😊, vamos discutir sobre reflexões acerca do Teorema do Valor intermediário.

O TVI nos diz que, se uma função é contínua num espaço fechado [ a , b ] e em seus extremos possui sinais opostos para f ( a ) e f ( b ) , então em algum momento ela vai se anular, havendo por conseguinte um raiz da função no intervalo estudado. Isso parece ser e é bem óbvio, se a função vai “de um lado ao outro” no eixo cartesiano y, ela sendo contínua não pode simplesmente saltar o ponto y = 0 como se estivesse pulando corda.

Podemos estender essa ideia para uma função contínua que, se em um intervalo ela não se anula, isso implica que não houve essa “passagem de lado”. Portanto, a função é estritamente negativa ou positiva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |