Faça o que se pede:

( a ) Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

2 3 x = s e n ( x )

Possui ao menos uma solução não-nula.

Passo 1

E aí gente, como é que vocês estão? Curtindo muito cálculo? Hahaha

Então, nessa questão recebemos a equação:

2 3 x = s e n ( x )

E, precisamos mostrar que ela possui pelo menos uma solução diferente de zero.

Puts, mas é uma equação com função trigonométrica misturada com função polinomial. O que podemos fazer?

É só usar o TVI genteeee!! É o famoso teorema do valor intermediário, basicamente ele vai dizer que se uma função contínua troca de sinal em um dado intervalo, ela tem raiz nesse intervalo.

“Ué, mas nem temos função aqui, é apenas uma equação. E, como assim raiz?!”

Então galera, pra que nossa equação se encaixe bonitinho nesse teorema podemos fazer o seguinte:

2 3 x = s e n ( x )

∴ s e n x - 2 3 x = 0

Daí, chamando:

f x = s e n x - 2 3 x

Queremos encontrar justamente a raiz de f . Sacaram a ideia?

Então, vamos procurar intervalos onde temos f troca de sinal pra aplicar o TVI.

Passo 2

Bom, se fizermos x = π 6 , temos:

f π 6 = s e n π 6 - 2 3 ⋅ π 6

1 2 - π 9 = 0,15 > 0

Massa!

Agora, precisamos testar um valor que esteja acima de 0 e que possa fazer f ter um sinal negativo. Podemos escolher um valor para x > π / 6 e que torne a função seno negativa. Por exemplo, se tomarmos:

x = 3 π 2

Vamos ter:

f 3 π 2 = s e n 3 π 2 - 2 3 3 π 2

=   - 1 - π < 0

Opaaa! Então, vimos que no intervalo fechado

π 6 , 3 π 2

Nossa função f ( x ) muda de sinal. Assim, pelo TVI, se ela muda de sinal, dado que f é contínua, é porque em algum momento ela cortou o eixo x . Ou seja, existe pelo menos uma raiz de f nesse intervalo.

O que, consequentemente, significa que existe pelo menos uma solução da equação:

2 3 x = s e n ( x )

Perfeito!! Matamos mais uma questãozita!

Espero que vocês tenham gostado 😊

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |