Dados f x = 2 + x - x 2 e o intervalo fechado [ 0 ,   3 ] . Usando o Teorema do Valor Intermediário mostre que existe pelo menos um valor c entre 0 e 3 tal que f c = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f x = 2 + x - x 2 e um intervalo [ 0 ,   3 ] e pediu pra gente mostrar que f c = 1 pra algum valor de c dentro desse intervalo.

O Teorema do Valor Intermediário nos diz que se f é uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e derivável em ( a ,   b ) , então existe um número c em ( a , �� b ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Ou, de maneira equivalente,

f b - f a = f ' c ( b - a )

Vamos então conferir as condições do teorema para a nossa função f ( x ) e calcular o valor de c usando a fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Como f x = 2 + x - x 2 é uma função polinomial, então ela é contínua e derivável para todo x , logo, ela é contínua em [ 0 ,   3 ] e derivável em ( 0 ,   3 ) .

Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número c em ( 0 ,   3 ) tal que:

f 3 - f 0 = f ' c ( 3 - 0 )

Calculando f ( 3 ) e f ( 0 ) , temos:

f 3 = 2 + 3 - 3 2 = - 4

f 0 = 2 + 0 - 0 2 = 2

Calculando também a derivada da função:

f ' x = 1 - 2 x

Então, f ' c = 1 - 2 c .

Substituindo tudo na equação do Teorema:

- 4 - 2 = ( 1 - 2 c ) ( 3 )

Logo,

- 6 = 3 - 6 c

c = 3 2

E c está em ( 0 ,   3 ) , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |