Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x = a e x = b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo a ,   b e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Passo 1

Existem infinitas funções que servem como resposta para essa questão. Vamos pensar na mais simples possível. Sabemos que um dos motivos que torna uma função descontínua em um ponto é se nesse ponto o denominador da função se tornar nulo. A função mais simples que apresenta esse problema é

f x = 1 x

Quando x = 0 f ( x ) não existe. Agora, perceba que antes de x = 0 a função é negativa, por exemplo:

f - 1 = 1 - 1 = - 1

E depois de x = 0 a função é positiva:

f 1 = 1 1 = 1

Portanto, essa função atende aos requisitos do enunciado e o Teorema do Valor Intermediário não pode ser usado.

Resposta

1 x

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |