Sejam C o círculo de raio 1 e centro em ( 1,0 ) e C , o círculo de raio r , 0 < r < 2 , e centro em ( 0,0 ) . Sejam ainda P r o ponto ( 0 , r ) e Q r o ponto de intersecção dos círculos C e C r situado no primeiro quadrante.

Se L r é a intersecção da reta P r Q r com o eixo O x , o que acontecerá com L r , quando C r encolher arbitrariamente?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos utilizar uma ideia de limite mais geométrica mesmo.

Temos dois círculos:

C : centrado em ( 1,0 ) e com raio igual a 1 .

C r : centrado em ( 0,0 ) e com raio igual a r . Onde 0 < r < 2

No círculo C r , o seu ponto de intersecção com o eixo y , chamamos de P r .

E, o ponto de intersecção de C R com C , no primeiro quadrante chamamos de Q r . Daí, traçamos uma reta ligando os pontos P r e Q r , e observamos a sua intersecção com o eixo x . Esse ponto é justamente o ponto L r .

O enunciado nos pede para dizer qual será o ponto L r quando o raio r da circunferência C r começa a diminuir indefinidamente.

É como se quiséssemos saber o limite de L r quando r → 0 .

Sacaram?

Pra fazer isso vamos desenhar a situação geométrica e analisar o que acontece no limite.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar desenhando o círculo C :

Agora vamos desenhar o círculo C r , que está centrado em ( 0,0 ) . Vamos considerar um raio r genérico entre 0 e 2 .

Agora, ligando os pontos P r e Q r , temos:

Encontramos L r bem na intersecção da reta traçada com o eixo x .

Excelente!

Passo 3

Agora que já desenhamos a situação, vamos pensar um pouquinhio...

Se o raio r passar a diminuir indefinidamente, a nossa circunferência C r vai se reduzir a um ponto, bem no centro dela. Ou seja, a circunferência C r se reduzirá ao ponto ( 0,0 ) .

Consequentemente, o ponto P r passará a valer ( 0,0 ) .

E, a intersecção das circunferências também estará bem no ponto 0,0 .

Ou seja, teremos:

P r = ( 0,0 )

Q r = ( 0,0 )

Logoo, L r também se reduzirá a um ponto. E, adivinha qual é?

Isso mesmo:

L R = ( 0,0 )

Prontinho pessoal! Essa é a respota.

Obrigado pela atenção de todos 😊

Resposta

( 0,0 )

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
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Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |