Mostre que a equação x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1 = 0 tem raiz no intervalo 0,1 .

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos primeiro entender o que esse enunciado louco tá querendo dizer pra gente, beleza?

Toda vez que um problema te der um polinômio ou uma função qualquer e manda a seguinte pergunta pra você: esse cara tem raiz no intervalo (x, y)... cara, pode ter quase certeza que você vai usar o teorema do valor intermediário.

Esse teorema diz o seguinte pra gente: sendo f uma função contínua no intervalo [a,b] e L qualquer valor entre f(a) e f(b), então existe um número c em [a,b] tal que f(c) = L.

Tá, entendi nada! Hahaha

Vamos por etapas, primeira coisa é ver se a função é contínua no dado intervalo. Bem, temos um polinômio tranquilo, sem divisões por outros polinômios ou com uma raiz, então esse cara é contínuo para todos os números reais.

Depois, o que você precisa fazer é pegar os valores dos extremos do intervalo dado e verificar quais valores f ( x ) vai ter, nosso caso, vamos encontrar f ( 0 ) e f ( 1 ) . E agora que vem o pulo do gato, pra que haja pelo menos uma raiz nesse intervalo, necessariamente um dos valores encontrados deve ser maior que zero e outro menor que zero.

Passo 2

Vamos calcular as f 0 e f ( 1 )

f x = x 5 - 3 x 4 - 2 x 3 - x + 1

f 0 = 0 5 - 3 0 4 - 2 0 3 - 0 + 1 = 1 > 0

f 1 = 1 5 - 3 1 4 - 2 1 3 - 1 + 1 = - 4 < 0

Opa, ou seja, temos ali então um intervalo dos valores dados por [ - 4 ,   1 ]

Resposta

Logo, como temos um valor maior que zero e outro menor que zero, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo dado.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |