25) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = x 3 + 3 x - 5

Passo 1

Faaala pessoal!

Esse exercício pede, basicamente, pra gente encontrar um intervalo de amplitude 1 em x , no qual possamos garantir que exista uma raiz de f ( x ) . Poderíamos pensar em resolver a equação, o problema é que f é um polinômio de grau 3, a solução é meio complicadinha.

Tem um jeito mais simples, como só queremos um intervalo podemos usar o teorema do valor intermediário. Ele diz o seguinte:

Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.

Beleza, bora pras contas!

Passo 2

A ideia aqui é bem tranquila, vamos chutar um valor de x e ver se vai dar um número maior, menor ou igual a zero. O bizu é escolher um valor que seja bem fácil de calcular o valor da função, então vou começar por zero 😊

f 0 = 0 3 + 3 ⋅ 0 - 5 =   - 5 < 0

Beleza, f 0 < 0 . Então pra aplicar o teorema do valor intermediário precisamos encontrar um x , tal que f x > 0 . Mas, pela restrição do enunciado, também queremos ter um intervalo de amplitude igual a 1 . Então, vamos chutar x = 1 .

f 1 = 1 3 + 3 - 5 =   - 1 < 0

Puts, foi quase, f 1 < 0 também. Mas tranquilo, só precisamos procurar mais um pouco. Como vimos que por pouco f 1 não era maior do que zero, bora chutar x = 2 .

f 2 = 2 3 + 3 ⋅ 2 - 5 = 9 > 0

Opa, f 2 > 0   .

Então, se a gente pegar o intervalo [ 1 ,   2 ] em x , pelo teorema do valor intermediário, com certeza vai haver ao menos uma raiz de f .

Prontinho 😊

Resposta

[ 1,2 ]

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
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Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |