24) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = x 3 + x - 1

Passo 1

Oii galera, tudo certinho com vocês?

Bom, pra começar, essa questão pede pra gente encontrar um intervalo de amplitude 1   em x , tipo [ a ,   b ] só que com b - a = 1 . Nesse intervalo, tem que ter pelo menos um valor de x que torne f nula.

Um problema é que a equação de f é um polinômio de grau 3, pra descobrir o valor exato das raízes não é muito simples.

Pra fazer esse tipo de exercício, o segredo é lembrar do teorema do valor intermediário, que resumidamente diz o seguinte:

Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.

Então essa vai ser a nossa missão, encontrar dois números a e b , com b - a   = 1 onde f ( a ) vai ter um sinal e f b o sinal oposto.

Passo 2

A ideia é começar escolhendo os números mais simples possíveis que conseguem nos ajudar. Por exemplo, se a gente fizer x = 0 , então vamos ter que f 0 = 0 + 0 - 1 =   - 1 . Beleza, então f 0 < 0 .

Como b - a precisa ser igual a 1, podemos agora escolher x = - 1   ou x =   1 . O simples é o belo, então vamo escolher x = 1 (mas também poderíamos escolher x =   - 1 sem problemas).

f 1 = 1 + 1 - 1 = 1

⇒ f 1 > 0

Olha só, muito bom!!! Já conseguimos então achar a e b , no caso temos o intervalo [ 0 ,   1 ] .

Lembrando que é possível garantir que terá uma raiz entre 0 e 1 justamente por causa do teorema do valor intermediário, já que o sinal de f ( 0 ) e f ( 1 ) são contrários.

Resposta

[ 0,1 ]

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |