Questão 4:

Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação cos ⁡ x + 1 = x 2 tem uma solução no 0 , π 2 .

Passo 1

Cara, vamos primeiro aqui passar esse x 2 pro outro lado...

cos ⁡ x + 1 = x 2       →             cos ⁡ x + 1 - x 2 = 0

Então se a gente chamar esse lado direito de uma f x ...

f x = cos ⁡ x + 1 - x 2

Então o que na realidade buscamos é a raiz dessa função, ou seja, o valor de x que zera ela:

f x = 0

Passo 2

Cara, pelo o Teorema do Valor Intermediário, TVI, o que devemos fazer é verificar os pontos:

0 , π 2

Tipo, veja o f 0 ...

f x = cos ⁡ x + 1 - x 2

f 0 = cos ⁡ 0 + 1 - 0 2 = 2

E o π / 2 ...

f π 2 = cos ⁡ π 2 + 1 - π 2 2 = 1 - π 2 4

Bem, como π é um número maior que 3 esse número é negativo. Então pensa, se existe um f 0 é maior que 0 e f π 2 é menor, então existe algum ponto entre 0 e π 2 em que a função se anula, afinal de contas ela é contínua em todos os pontos desse intervalo, sacou?

Passo 3

Mais formalmente falando, como a função é contínua no intervalo 0 , π 2 e...

f π 2 = 1 - π 2 4 < d < f 0 = 2

então existe um x 0 tal que...

f x 0 = d = 0

Então f possui pelo menos uma raiz nesse intervalo ;)

Resposta

f π 2 = 1 - π 2 4 < d < f 0 = 2

Existe um x 0 ...

f x 0 = d = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |