3. Mostre que a função f x = x 3 + x + 1 possui, pelo menos, uma raiz real.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que mostrar que a nossa f x tem pelo menos uma raíz real. A gente pode fazer isso igualando a função a zero e achando as raízes. Depois vamos ver se alguma é real.

Mas repara que essa não é uma equação trivial de resolver

f x = x 3 + x + 1 = 0

x x 2 + 1 + 1 = 0

Mas fica tranquilo que agora tudo vai facilitar! A gente consegue provar isso usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Para quem não lembrar ele fala o seguinte: se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, ela tem ao menos uma raiz real naquele intervalo.

Agora vamos aplica-lo

Passo 2

Temos a seguinte função

f x = x 3 + x + 1

Agora podemos escolher dois vamores de x para calcular. Se a função trocar de sinal, significa pelo TVI que existe ao menos uma raiz real no intervalo calculado.

Bora fazer primeiro, x = 0

f 0 = 0 3 + 0 + 1 = 1

Agora vamos fazer x = - 1

f - 1 = - 1 3 + - 1 + 1 = - 1

Repara que a função mudou de sinal, ou seja, existe ao menos uma raiz real no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

Resposta

No texto.

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |