7.18. Seja f uma função derivável no intervalo ] - 1 , + ∞ [ tal que f 0 = 0 e 0 < f ' x ≤ 1 , para todo x > 0 . Mostre que 0 < f x ≤ x , para todos x > 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que provar que 0 < f x ≤ x é verdadeira a partir de que 0 < f ' x ≤ 1 dado f 0 = 0 em uma função f derivável em ] - 1 , + ∞ [ .

Como vamos fazer isso? 🤔

Pra isso, podemos usar o teorema do valor médio!

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Vamos com calma... temos que fazer a inequação 0 < f ' x ≤ 1 chegar em 0 < f x ≤ x .

A partira do teorema, sabemos que a derivada de uma função em um ponto intermediário ao intervalo a , b é dado por

f ' c = f b - f a b - a

Portanto, substituindo na inequação, temos

0 < f ' c ≤ 1

0 < f b - f a b - a ≤ 1

Foi dito que para qualquer valor de x > 0 , essa solução é valida, então vamos definir um intervalo genérico onde a = 0 e b = x

0 < f x - f 0 x - 0 ≤ 1

No enunciado, também foi dito que f 0 = 0 , ou seja

0 < f x - 0 x - 0 ≤ 1

0 < f x x ≤ 1

Multiplicando todos os lados por x , chegamos em

0 · x < f x x · x ≤ 1 · x

0 < f x ≤ x

Legal né? 😁

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

0 < f x ≤ x

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |