7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(f) e x - e y ≥ x - y , para todos x , y com x ≥ y ≥ 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que provar que a inequação e x - e y ≥ x - y é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por e x - e y ≥ x - y , então se passarmos o termo x - y dividindo, temos

e 𝑥−𝑒𝑦𝑥−𝑦 e x - e y x - y ≥ 1

Comparando com a equação do passo 1, vemos que f x = e x

E, portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de f x é dada por

f ' x = d e x d x = e x

Substituindo x por c

f ' c = e c

Assim, pelo TVM...

f ' c = e x - e y x - y

e c = e x - e y x - y

E substituindo na inequação...

e c ≥ 1

E como x ≥ y ≥ 0 , c deve ser maior que 0 para estar entre x e y .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

e c ≥ 1 , c ≥ 0

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |