Amplificador de velocidade. Na figura, o bloco 1, de massa m 1 , desliza ao longo de um eixo x em um piso sem atrito, com uma velocidade v 1 i   =   4,00   m / s , até sofrer uma colisão elástica unidimensional com o bloco 2, de massa m 2   =   m 1 / 2 , inicialmente em repouso. Em seguida, o bloco 2 sofre uma colisão elástica unidimensional com o bloco 3 de massa m 3 = m 2 / 2 , inicialmente em repouso.

  1. Qual é a velocidade final do bloco 3?

Comparados aos valores iniciais do bloco 1,

(b) A velocidade,

(c) a energia cinética e

(d), o momento do bloco 3 são maiores, menores ou iguais?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa é uma questão que parece complicada, mas vou ajudar você a decifrar! Temos duas colisões em sequência: primeiro o bloco 1 se choca com o bloco 2 (que está em repouso inicialmente), e ambos adquirem velocidade. Depois o bloco 2 se choca com o bloco 3 (que também estava em repouso), e agora todos os blocos estão em movimento

E note que as massas dos blocos vão sendo cada vez menores, isso indica que eles adquirirão uma velocidade maior após a colisão. Por isso o nome do problema é amplificador de velocidades

e de uma colisão elástica

Ele é definido como a razão entre o módulo da velocidade relativa de afastamento e o módulo da velocidade relativa de aproximação, assim:

e = v 2 f - v 1 f v 2 i - v 1 i = 1  

E e = 1 quando a colisão é elástica, que é nosso caso! Então é isso, vamos usar conservação de momento linear e o coeficiente de restituição para calcular as velocidades finais

Mas relaxa, vou fazer passo a passo contigo! Vamos começar?

Passo 2

Letra (a): Vou começar chamando de m 1 = m e como m 2 = m 1 2 , então m 2 = m 2 .

Na primeira colisão temos apenas os blocos 1 e 2 envolvidos

O bloco 1 se move com velocidade de v 1 i = 4 m / s e o bloco 2 está em repouso v 2 i = 0 . Depois da colisão, ambos estão em movimento, assim pela conservação do momento total:

m 1 v 1 i = m 2 v 2 f + m 1 v 1 f

m 1 . 4 = m 1 2 v 2 f + m 1 v 1 f

Dividindo tudo por m e multiplicando por 2:

8 = 2 v 1 f + v 2 f

Beleza?

Como a colisão foi elástica, então o coeficiente de restituição é 1

e = 1

Ele é definido como a razão entre o módulo da velocidade relativa de afastamento e o módulo da velocidade relativa de aproximação, assim:

e = v 2 f - v 1 f v 2 i - v 1 i = 1  

Como v 1 i = 4 e v 2 i = 0 temos

4 v 1 f - v 2 f = 1 ∴ v 2 f - v 1 f = 4

v 2 f = 4 + v 1 f

Juntando essas duas equações vamos obter os valores das velocidades depois da colisão:

8 = 2 v 1 f + v 2 f v 2 f = 4 + v 1 f

Partiu resolver esse sistema!

Passo 3

Ficamos com um sistema e você pode resolver da maneira que quiser! Eu vou substituir v 2 f da segunda equação para achar v 1 f :

8 = 2 v f 1 + 4 + v 1 f

8 - 4 = 3 v 1 f

v 1 f = 4 3 m / s  

E agora podemos usar qualquer uma das duas equações para descobrir v 2 f , vou usar a segunda:

v 2 f = 4 + 4 3 = 16 3 m / s

Tranquilo até aqui?

Agora o bloco 2 vai em direção ao bloco 3. Aqui vai começar nossa segunda colisão!

Passo 4

Para segunda colisão, o bloco 3 está inicialmente em repouso e tem massa metade da massa do bloco 2, então m 3 = m 2 2 = 1 2 m 2 = m 4 . E a velocidade inicial do bloco 2 é a velocidade que ele adquiriu da colisão com o bloco 1, que chamamos de v 2 f no passo anterior!

Assim, para essa segunda colisão

v 2 i = 16 3 ; m 2 = m 2

v 3 i = 0 ; m 3 = m 4

Aí pela conservação do momento linear:

p i = p f

m 2 . 16 3 + m 4 . 0 = m 2 v 2 f + m 4 v 3 f

16 6 = v 2 f 2 + v 3 f 3

E fazendo o mmc temos a primeira equação:

32 = 6 v 2 f + 3 v 3 f

Vamos guardar essa equação!

A colisão foi também elástica então o coeficiente de restituição é 1:

v 3 f - v 2 f v 3 i - v 2 i = 1

v 3 f - v 2 f 16 3 = 1

v 3 f - v 2 f = 16 3 ∴ v 3 f = 16 3 + v 2 f

E essa é a segunda equação! Agora ficamos com esse sistema:

32 = 6 v 2 f + 3 v 3 f v 3 f = 16 3 + v 2 f

Bora resolver?

Passo 5

Vou substituir a segunda equação na primeira:

32 = 6 v 2 f + 3 16 3 + v 2 f

32 = 6 v 2 f + 3 v 2 f + 16

9 v 2 f = 32 - 16

v 2 f = 16 9 m / s

v 3 f :

v 3 f = 16 3 + 16 9 = 48 + 16 9 = 64 9 m / s

Essa é a velocidade final do bloco 3!

Passo 6

Letra (b): agora o problema pede para compararmos a velocidade inicial do bloco 1 com a velocidade final do bloco 3

A velocidade inicial do bloco 1 era: 4 m / s

A velocidade final do bloco 3 era: 64 9 ≈ 7,1 m / s

Logo, a velocidade é maior no bloco 3 do que no bloco 1

Passo 7

Letra (c): o problema pede para compararmos a energia cinética inicial do bloco 1 com a energia cinética final do bloco 3

A energia cinética do bloco 1:

E i 1 = m v 1 i 2 2 = m 4 2 2 = 8 m

A energia cinética final do bloco 3:

E f 3 = 1 2 m 4 64 9 2 = 6,32 m

Assim, a energia cinética é menor no bloco 3 do que no bloco 1

Vamos para a última comparação!

Passo 8

Letra (d): o problema pede para compararmos o momento linear inicial do bloco 1 com o momento linear final do bloco 3

O momento linear do bloco 1:

p 1 i = m . 4 = 4 m

Momento linear final do bloco 3:

p 3 f = m 4 . 64 9 = 1,77 m

Assim, o momento linear final do bloco 3 é menor do que do bloco 1.

Ufa! Agora sim terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

a ) 64 9 m / s  

b )   m a i o r

c )   m e n o r

d )   m e n o r

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