UNICAMP – Física 1 – 2020.1 – Exame – Discursiva
Q - Considere o dispositivo da figura, chamado de pêndulo de Newton. Todas as colisões entre as bolas no dispositivo são elásticas.
Se uma bola em um extremo é puxada para trás e solta, como mostrado na figura, haverá uma quebra da conservação de momento se duas bolas no outro extremo se moverem com metade da velocidade da primeira bola?
O resultado do evento em será uma quebra da conservação de energia?
Mostre que o único resultado consistente com a conservação de momento e a conservação de energia é que se bolas forem puxadas para trás e soltas, bolas deverão subir do outro lado.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para esse problema temos que usar apenas a conservação de energia mecânica e a conservação de momento, já que temos colisões elásticas.
Vamos ver o que cada item pede e aplicar essas leis de conservação.
Passo 2
O item quer saber se o momento se conserva para o caso de uma bola sendo puxada e depois duas bolas subirem com metade da velocidade da bola que foi levantada. Então:
Logo não temos quebra de conservação de momento.
Passo 3
O item quer saber se na mesma situação anterior temos quebra de energia.
Para esse caso vamos considerar o instante inicial sendo imediatamente antes da bola que foi levanta colidir com as outras e o instante final como sendo imediatamente no começo da subida das duas bolas.
Mas para que isso? Isso é porque só teremos energia cinética, assim a energia inicial é dada por:
E a energia final é:
Então
E essa energia é diferente da energia inicial, logo houve quebra na conservação!
Passo 4
Agora vamos mexer com o item .
Para mostrar o que ele pede, vamos fazer o seguinte, vamos supor uma certa quantidade bolas foi levantada a uma altura e com isso um certo número de bolas sobem a uma altura depois da colisão.
Então temos que mostrar que .
Então a energia inicial a uma altura , tem que ser igual a energia potencial nessa altura, assim temos:
Sendo que essa energia é igual a energia cinética imediatamente antes da colisão, assim:
E a energia final vai ser igual a energia potencial das bolas que subiram a uma altura , assim:
Que também é igual a energia cinética das bolas que sobem imediatamente depois da colisão, assim:
Agora analisando o momento inicial imediatamente antes da colisão, temos:
E o momento final das bolas imediatamente depois da colisão é:
Passo 5
Como temos colisões elásticas acontecendo, logo deve ocorrer tanto a conservação de energia, quanto a conservação do momento, assim:
Pegando o que encontramos na primeira equação e substituindo na segunda, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Logo o mesmo número de bolas que são puxadas vai ser o número de bolas que irão subir.
Resposta
Não quebra a conservação de momento.
Quebra a conservação de energia.
Demonstrado acima.