2. Em cada item abaixo, determine f ' x .

d. f x = x - 1 x + 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para acharmos essa derivada, vamos usar a definição de derivada.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem é o nosso f x .

f x = x - 1 x + 2

Agora vamos aplicar na fórmula:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x - 1 x + Δ x + 2 - x - 1 x + 2 Δ x

Fazendo a subtração do numerador, ficamos com

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x + 2 x + Δ x - 1 - x + Δ x + 2 x - 1 ( x + Δ x + 2 ) ( x + 2 ) Δ x

Fazendo a distributiva no numerador,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x 2 + x Δ x - x + 2 x + 2 Δ x - 2 - ( x 2 - x + x Δ x - Δ x + 2 x - 2 ) ( x + Δ x + 2 ) ( x + 2 ) Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ + 3 Δ x ( x + Δ x + 2 ) ( x + 2 ) Δ x

Ajeitando,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ + 3 ( x + Δ x + 2 ) ( x + 2 )

Calculando o limite,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ + 3 ( x + Δ x + 2 ) ( x + 2 ) = + 3 ( x + 2 ) ( x + 2 )

f ' x = + 3 x + 2 2

Prontinho!

Resposta

+ 3 x + 2 2

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