Em cada um dos itens abaixo, encontre a derivada da função usando a defini��ão:

b) f x = 2 x 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função usando a definição de derivada, que é dada pela equação:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Dessa forma, consideramos a variável h para o cálculo do limite, x é considerado temporariamente uma constante. Então, vamos substituir f ( x ) na equação e verificar o valor da derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Colocando f x = 2 x 3 na definição, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x + h 3 - 2 x 3 h

Expandindo a função nos parênteses:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 2 x 3 h

Aplicando a distributiva:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x 3 + 6 x 2 h + 6 x h 2 + 2 h 3 - 2 x 3 h

Cortando os termos semelhantes:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 x 2 h + 6 x h 2 + 2 h 3 h

Agora vamos colocar h em evidência:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h ( 6 x 2 + 6 x h + 2 h 2 ) h

Simplificando h :

f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 x 2 + 6 x h + 2 h 2

Então, quando h → 0 , obtemos:

f ' x = 6 x 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' x = 6 x 2

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