Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

g) u ( x ) = 1 2 x + 3

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função u ( x ) = 1 2 x + 3 usando a definição de derivada.A derivada de uma função u ( x ) em relação a x , denotada por u ' ( x ) ou d u d x , é definida pela seguinte expressão:

u ' ( x ) = l i m h → 0   u ( x + h ) - u ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   u ( x ) = 1 2 x + 3   :

u ' ( x ) = l i m h → 0   u ( x + h ) - u ( x ) h

= l i m h → 0   1 2 ( x + h ) + 3 - 1 2 x + 3 h

Passo 2

Multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por 2 ( x + h ) + 3 para eliminar o radical no denominador:

= l i m h → 0   2 ( x + h ) + 3 - 2 x + 3 h ⋅ 2 ( x + h ) + 3

= l i m h → 0   ( 2 ( x + h ) + 3 - 2 x + 3 ) ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 ) h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 ( x + h ) + 3 - 2 x - 3 h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 h h ⋅ 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

= l i m h → 0   2 2 ( x + h ) + 3 ⋅ ( 2 ( x + h ) + 3 + 2 x + 3 )

Passo 3

A g o r a   p o d e m o s   s u b s t i t u i r   h = 0   n o   l i m i t e :

u ' ( x ) = 2 2 x + 3 ⋅ ( 2 x + 3 + 2 x + 3 )

= 2 2 ( 2 x + 3 ) 2

= 1 ( 2 x + 3 ) 2

= 1 2 x + 3

Portanto, a derivada da função u ( x ) = 1 2 x + 3 em relação a x é u ' ( x ) = 1 2 x + 3 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função u ( x ) em qualquer ponto é 1 2 x + 3 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função u ( x ) em qualquer ponto é 1 2 x + 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f ' ( a ) :f (t) = (2 t + 1)/(t + 3)
Encontre f ' ( a ) .f (x) = sqrt(3 x + 1)
Se um tanque cilíndrico comporta 100000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que restou no tanque após t minutos como:
O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C x = 5000 +10 x + 0,05 x 2 a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem varian
Encontre f ' ( a ) . f x = 3 - 2 x + 4 x 2