Calcule, pela definição, f ' ( x 0 ) se

a )   f x = x 2 + x ,   x 0 = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 2 + x

E depois pede:

Calcule PELA DEFINIÇÃO f ' ( 1 )

E agora, como fazer isso?

Através da definição de derivada! Você lembra dela?

Sabemos que a definição da derivada de uma função f ( x ) é dada pelo seguinte limite

f ' ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Então a ideia é trocar x 0 pelos valores dados e calcular a derivada!

Ou também, se queremos ainda uma expressão genérica para derivada então vamos usar essa versão do limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Particularmente eu prefiro a expressão genérica, depois é só aplicar em x = 1 !

Você pode tentar fazer com a outra definição e conferir os resultados!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

f x = x 2 - x

E precisamos resolver esse limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então precisamos calcular f ( x + h ) :

f x + h = x + h 2 - x + h = x 2 + 2 x h + h 2 - x - h

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos jogar esse resultado no limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

= lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - x - h - [ x 2 - x ] h

E por fim simplificar

= lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 - h h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h - 1

Quando h → 0 nosso limite fica

f ' x = 2 x - 1

Mas queremos a derivada em x = 1 , então é só substituir

f ' 1 = 2.1 - 1 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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