Calcule, pela definição, f ' ( x 0 ) se

b )   f x = x ,   x 0 = 4

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x

E depois pede:

Calcule PELA DEFINIÇÃO f ' ( 4 )

E agora, como fazer isso?

Através da definição de derivada! Você lembra dela?

Sabemos que a definição da derivada de uma função f ( x ) é dada pelo seguinte limite

f ' ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Então a ideia é trocar x 0 pelos valores dados e calcular a derivada!

Ou também, se queremos ainda uma expressão genérica para derivada então vamos usar essa versão do limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Particularmente eu prefiro a expressão genérica, depois é só aplicar em x = 1 !

Você pode tentar fazer com a outra definição e conferir os resultados!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é

f x = x

E precisamos resolver esse limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então precisamos calcular f ( x + h ) :

f x + h = x + h

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos jogar esse resultado no limite

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

= lim h → 0 ⁡ x + h - [ x ] h × x + h - x x + h - x

Para nos livrarmos dessa diferença de raízes multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado da raiz, agora multiplicando e simplificando temos

= lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h x + h - x = lim h → 0 ⁡ x + h - x h x + h - x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - x

Quando h → 0 nosso limite fica

f ' x = 1 2 x

Mas queremos a derivada em x = 4 , então é só substituir

f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 4

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