Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

a) f x = x 2 - 5 ; a = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( x ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = x 2 - 5

E queremos encontrar f ' ( a ) para a = 2 . Assim, usando a definição do passo 1 e substituindo f x = x 2 - 5 e f 2 = - 1 , teremos:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 5 - ( - 1 ) x - 2

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x - 2

Fatorando o numerador da função pra fugir da indeterminação, temos:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2

Simplificando:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 )

E aplicando o limite:

f ' 2 = 2 + 2

f ' 2 = 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4

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