Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

b) f y = 4 / y ; a = - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( y ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim y → a ⁡ f y - f ( a ) y - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f y = 4 y

Assim, para a = - 1 , temos:

f a = f - 1 = - 4 .

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = - 1 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f y e f - 1 , teremos:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y - ( - 4 ) y - ( - 1 )

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y + 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y y + 1

Fazendo a divisão de frações:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y + 4 y ∙ 1 y + 1

= lim y → - 1 ⁡ 4 ( y + 1 ) y ( y + 1 )

Simplificando:

f ' - 1 = lim y → - 1 ⁡ 4 y

E aplicando o limite:

f ' - 1 = 4 - 1

f ' - 1 = - 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 4

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f ' ( a ) :f (t) = (2 t + 1)/(t + 3)
Encontre f ' ( a ) .f (x) = sqrt(3 x + 1)
Se um tanque cilíndrico comporta 100000 litros de água, que podem escoar pela base do tanque em uma hora, então a Lei de Torricelli fornece o volume V de água que restou no tanque após t minutos como:
O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C x = 5000 +10 x + 0,05 x 2 a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem varian
Encontre f ' ( a ) . f x = 3 - 2 x + 4 x 2