Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

e) f v = 2 v v - 3 ; a = 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( v ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim v → a ⁡ f v - f ( a ) v - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f v = 2 v v - 3

Assim, para a = 2 , temos:

f a = f 2 = - 4

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = 2 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f v e f 2 , teremos:

f ' 2 = lim v → 2 ⁡ 2 v v - 3 - ( - 4 ) v - 2

= lim v → 2 ⁡ 2 v + 4 v - 12 v - 3 v - 2 = lim v → 2 ⁡ 6 v - 12 v - 3 v - 2

Fazendo a divisão de frações:

f ' 2 = lim v → 2 ⁡ 6 v - 12 v - 3 ∙ 1 v - 2

f ' 2 = lim v → 2 ⁡ 6 ( v - 2 ) ( v - 3 ) ( v - 2 )

Simplificando:

f ' 2 = lim v → 2 ⁡ 6 ( v - 3 )

Então, aplicando o limite, vamos obter:

f ' 2 = 6 2 - 3

f ' 2 = 6 - 1 = - 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 6

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