Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

g) f ( x ) = 3 x - 1 x - 3 ;   a = 2

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f ( x ) = 3 x - 1 x - 3 no ponto a = 2 usando a definição de derivada. A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( x ) = 3 x - 1 x - 3 e a = 2 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   3 ( 2 + h ) - 1 2 + h - 3 - 3 ( 2 ) - 1 2 - 3 h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   6 + 3 h - 1 h - 1 - 5 - 1 h

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   5 h - 1 h ( h - 1 )

Passo 2

A g o r a ,   p o d e m o s   f a t o r a r   o   n u m e r a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   h 5 - 1 h h ( h - 1 )

C a n c e l a m o s   u m   f a t o r   d e   h   n o   n u m e r a d o r   e   n o   d e n o m i n a d o r :

f ' ( 2 ) = l i m h → 0   5 - 1 h h - 1

Passo 3

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( 2 ) = 5 - 1 0 0 - 1 = 5 / - 1 = - 5

Resposta

-5

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