Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

b) f ( y ) = 4 / y ;   a = - 1

Passo 1

b. Vamos calcular a derivada de f ( y ) = 4 y no ponto a = - 1 usando a definição de derivada.A definição de derivada é dada por:

f ' ( a ) = l i m h → 0   f ( a + h ) - f ( a ) h

Neste caso, temos f ( y ) = 4 y e a = - 1 . Substituindo esses valores na definição de derivada, temos:

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   f ( - 1 + h ) - f ( - 1 ) h

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 - 1 + h h - 4 - 1 h

Passo 2

Simplificando as frações no numerador:

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   - 4 - 1 + h + 4 1 h

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 - 1 + h + 4 h

Agora, combinamos as frações no numerador:

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 - 4 ( 1 - h ) h ( - 1 + h )   f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 - 4 + 4 h h ( - 1 + h )   f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 h h ( - 1 + h )  

Passo 3

Cancelamos um fator de h no numerador e no denominador:

f ' ( - 1 ) = l i m h → 0   4 - 1 + h

A g o r a ,   s u b s t i t u í m o s   h = 0   n o   l i m i t e :

f ' ( - 1 ) = 4 - 1 + 0 = - 4

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( y ) = 4 y   n o   p o n t o   a = - 1   é   f ' ( - 1 ) = - 4 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   d e r i v a d a   d e   f ( y ) = 4 y   n o   p o n t o   a = - 1   é   f ' ( - 1 ) = - 4 .

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