Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:

d) 4 x - 3 x y 2 + x 2 y = 0 ,   em p = ( 1 , - 1 )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação e nos pede a equação da reta tangente da curva em um ponto indicado (quando ler “reta tangente em um ponto” já pensa na derivada hehe).

Bom... lembra como determina a equação de uma reta? Bora relembrar olhando a figura abaixo:

Primeiro, com a posição dos pontos A e B , a gente encontra a inclinação da reta α através da relação α = Δ y Δ x = y b - y a x b - x a .

Depois, aplicamos na equação da reta y = a x + b e descobrimos os valores de a e b !!

Mas como fazemos isso para um só ponto??? Bom, ao invés de fazer α = Δ y Δ x , a gente faz α = d y d x (pois estamos tendendo a zero a distância do ponto B ao ponto A ) e aplicamos em y b - y a x b - x a = α !!!

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d 4 x - 3 x y 2 + x 2 y d x = d 0 d x ∴

Do lado esquerdo, em - 3 x y 2 e x 2 y aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e seguimos derivando os outros termos normalmente. Assim, temos:

4 - 3 y 2 - 6 x y d y d x + 2 x y + x 2 d y d x = 0 ∴

x 2 - 6 x y d y d x - 3 y 2 + 2 x y + 4 = 0 ∴  

d y d x = 3 y 2 - 2 x y - 4 x 2 - 6 x y

Passo 3

Dessa forma, substituindo o ponto p = ( 1 , - 1 ) na derivada encontrada, temos:

d y d x = 3 ( - 1 ) 2 - 2 ( 1 ) ( - 1 ) - 4 ( 1 ) 2 - 6 ( 1 ) ( - 1 ) ∴

d y d x = 1 7

E, aplicando na equação da reta y b - y a x b - x a = d y d x , temos:

y + 1 = 1 7 x - 1 ∴

y = x 7 - 8 7

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = x 7 - 8 7

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