Determine, se existirem, os valores de a , b para que a função

g x = x 2 + 2 a x ,     x ≤ 0 b x ,     x > 0

Seja derivável em x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para que a função g x seja derivável em x = 0 , então as derivadas nos ramos esquerdo e direito devem ser iguais.

Assim, temos que derivar as funções x 2 + 2 a x para x ≤ 0 e b x para x > 0 e depois igualar de forma que encontremos os valores de a e b para os quais a função seja contínua!

Primeiramente, precisamos ter certeza que a função é contínua em x = 0 .

Para isso, vamos pegar as duas funções, igualá-las e fazer x = 0 :

x 2 + 2 a x = b x ∴

0 2 + 2 a * 0 = b * 0 ∴

0 = 0

Dessa forma, a função é contínua em x = 0 . Agora, podemos prosseguir com o nosso raciocínio.

Não entendeu? Então vamos juntos!!

😉

Passo 2

Dessa forma, fazendo a derivada para x ≤ 0 , temos:

g ' x = 2 * x 2 - 1 + 1 * 2 a x 1 - 1 ∴

g ' x = 2 x + 2 a

E, fazendo a derivada para x > 0 :

g ' x = 1 * b x 1 - 1 ∴

g ' x = b

Agora vamos igualar ambas as derivadas e analisar!!

Passo 3

Igualando as derivadas, temos:

2 x + 2 a = b

Como queremos que a função seja derivável em x = 0 , então temos:

2 * 0 + 2 a = b ∴

2 a = b ∴

b a = 2

Dessa forma, para que a função seja derivável e x = 0 , então os valores de a e b podem ser qualquer um desde que a razão b a = 2 seja satisfeita.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Dessa forma, para que a função seja derivável e x = 0 , então os valores de a e b podem ser qualquer um desde que a razão b a = 2 seja satisfeita.

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