4 – Determine a função derivada das seguintes funções:

b) f x = ln ⁡ ln ⁡ 3 - 2 x 3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a derivada da função f x = ln ⁡ ln ⁡ 3 - 2 x 3 .

Como podemos fazer isso? 🤔

Perceba que a função f x é na verdade uma função composta f x = g h p x .

Temos a função p x = 3 - 2 x 2 dentro da função h p x = ln ⁡ p x que por sua vez está dentro da função g h p x = ln ⁡ h p x .

Nesses casos, temos que aplicar a regra da cadeia que consiste em calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora...

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Seguindo a ideia “a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora”, começamos como

f ' x = h ' p x · g ' h p x

Em g ' h p x substituímos h p x por uma variável qualquer

f ' x = h ' p x · g ' u

Mas a derivada h ' p x também é uma função composta, então aplicamos o mesmo metodo

f ' x = p ' x · h ' p x · g ' u

Substituindo p x por outra variável em h ' p x , temos

f ' x = p ' x · h ' v · g ' u

Agora vamos adaptar as funções.

Diretamente temos que p x = 3 - 2 x 2 , já h v é dada substituindo p x por v : h v = ln ⁡ v e por fim, g u é dada substituindo h p x por u : g u = ln ⁡ u

Substituindo em f ' x , temos

f ' x = d 3 - 2 x 2 d x · d ln ⁡ v d v · d ln ⁡ u d u

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Começando por d 3 - 2 x 2 d x , temos que pelo método de derivação polinomial

d 3 - 2 x 2 d x = 0 - 3 · 2 x 3 - 1 = - 6 x 2

A derivada de ln ⁡ v é dada pelo teorema fundamental do cálculo

d ln ⁡ v d v = 1 v

Então substituindo v por u , temos

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo os resultados em f ' x

f ' x = - 6 x 2 · 1 v · 1 u

Não podemos deixar o resultado em função de u e v , então substituímos u por h p x e v por p x de volta

f ' x = - 6 x 2 · 1 ln ⁡ 3 - 2 x 3 · 1 3 - 2 x 2

f ' x = - 6 x 2 ln ⁡ 3 - 2 x 3 3 - 2 x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = - 6 x 2 ln ⁡ 3 - 2 x 3 3 - 2 x 2

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