As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função f x = - x cos ⁡ x , para x ∈ - π 2 , 3 π 2 . Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de coordenadas, tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para escapar da linha de tiro. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência d ,   f d sairão do campo de visão do atirador. O problema é determinar a distância máxima entre o atirador e um alvo potencial.

  1. Usando a definição, calcule d d x cos ⁡ x .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para calcular a derivada d d x cos ⁡ x utilizando a definição.

Para isso, é interessante a gente lembrar da definição de derivada:

Seja f ( x ) uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto x = a . A derivada de f ( x ) em relação a x , denotada por f ' ( a ) , é definida por:

f ' ( a )   = lim h → 0 ⁡ f a   +   h -   f a h  

E aí? Bora lá colocar isso em prática??

😉

Passo 2

Nesse sentido, aplicando a definição para a função f x = cos ⁡ x , temos:

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x   +   h - cos ⁡ x h

Se substituíssemos h = 0 , teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, podemos utilizar L’Hopital para simplificar nossa expressão, ou seja, vamos derivar o numerador e denominador para, em seguida, substituirmos no limite.

Derivando o numerador, temos:

cos ⁡ x   +   h - cos ⁡ x ' = - sin ⁡ h + x

Derivando o denominador, temos:

h ' = 1

Substituindo no limite:

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ - sin ⁡ h + x 1

Passo 3

Agora, inserindo o valor h → 0 no nosso limite, temos:

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ - sin ⁡ h + x 1 ∴

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ 0 + x 1 ∴

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x cos ⁡ x = - sin ⁡ x

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