As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função f x = - x cos ⁡ x , para x ∈ - π 2 , 3 π 2 . Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de coordenadas, tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para escapar da linha de tiro. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência d ,   f d sairão do campo de visão do atirador. O problema é determinar a distância máxima entre o atirador e um alvo potencial.

  1. Calcule d d x f x . Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f por um ponto genérico a ,   f a , com a ∈ - π 2 , 3 π 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para calcular a derivada d d x f x onde:

f x = - x cos ⁡ x

Em seguida a questão nos pede para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f por um ponto genérico a ,   f a , com a ∈ - π 2 , 3 π 2 .

Lembrando que a equação de uma reta é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde:

  • y é o valor da variável dependente (normalmente o eixo vertical);
  • x é o valor da variável independente (normalmente o eixo horizontal);
  • m é o coeficiente angular, que representa a inclinação da reta.

Aplicando a equação da reta para o nosso caso específico, temos:

y - f a = f ' a x - a

Dessa forma, precisamos encontrar a derivada e aplicar ela no ponto a , que será o ponto em que a reta fica tangente à curva.

E aí? Bora lá colocar isso em prática??

😉

Passo 2

Nesse sentido, vamos primeiro determinar d d x f x :

d d x - x cos ⁡ x

Podemos utilizar a regra do produto:

d d x - x cos ⁡ x = - x d d x cos ⁡ x + cos ⁡ x d d x - x ∴

d d x - x cos ⁡ x = - x - sin ⁡ x + cos ⁡ x - 1 ∴

d d x - x cos ⁡ x = x sin ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 3

Agora, aplicando na equação da nossa reta, temos:

y = f ' a x - a + f a ∴

y = a sin ⁡ a - cos ⁡ a x - a + - a cos ⁡ a ∴

y = a x sin ⁡ a - x cos ⁡ a - a 2 sin ⁡ a + a cos ⁡ a - a cos ⁡ a ∴

y = x a sin ⁡ a - cos ⁡ a - a 2 sin ⁡ a

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x - x cos ⁡ x = x sin ⁡ x - cos ⁡ x

y = x a sin ⁡ a - cos ⁡ a - a 2 sin ⁡ a

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