As montanhas da figura são modeladas pelo gráfico da função f x = - x cos ⁡ x , para x ∈ - π 2 , 3 π 2 . Um atirador de elite, localizado na origem do sistema de coordenadas, tenta neutralizar fugitivos que escalam a montanha à direita para escapar da linha de tiro. Se os fugitivos passarem do ponto de tangência d ,   f d sairão do campo de visão do atirador. O problema é determinar a distância máxima entre o atirador e um alvo potencial.

  1. Determine a equação da reta tangente por d ,   f d calculado no item acima. Em seguida, supondo que o atirador atingiu um fugitivo exatamente no ponto d ,   f d , calcule a distância percorrida pela bala.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para calcular a equação da reta tangente por d ,   f d calculado no item anterior.

Sabemos que no item anterior descobrimos que d = π .

Lembrando que a equação de uma reta é dada por:

y - y 0 = m x - x 0

Onde:

  • y é o valor da variável dependente (normalmente o eixo vertical);
  • x é o valor da variável independente (normalmente o eixo horizontal);
  • m é o coeficiente angular, que representa a inclinação da reta.

Aplicando a equação da reta para o nosso caso específico, temos:

y - f d = f ' d x - d

Obs: na letra b) vimos que a derivada f ' d = d sin ⁡ d - cos ⁡ d

Assim, temos que descobrir o valor de f d para, em seguida, aplicar na equa��ão da reta acima.

Depois, para descobrir a distância D percorrida pela bala, através da figura, podemos que utilizar Pitágoras:

D = d 2 + f d 2

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Nesse sentido, vamos descobrir o valor de f d :

f x = - x cos ⁡ x ∴

f d = - d cos ⁡ d ∴

f π = - π cos ⁡ π ∴

f π = π

Assim, substituindo na equação da reta tangente, temos:

y - π = d sin ⁡ d - cos ⁡ d x - d

Fazendo d = π , temos:

y - π = π sin ⁡ π - cos ⁡ π x - π ∴

y = π x sin ⁡ π - cos ⁡ π x - π 2 sin ⁡ π + π cos ⁡ π + π ∴

y = π sin ⁡ π - cos ⁡ π x + π cos ⁡ π + π - π 2 sin ⁡ π

Passo 3

Por fim, descobrindo o valor da distância D , temos:

D 2 = π 2 + π 2 ∴

D = 2 π 2 ∴

D = π 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = π sin ⁡ π - cos ⁡ π x + π cos ⁡ π + π - π 2 sin ⁡ π

D = π 2

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