Q11. Determine um ponto P pertencente ao gráfico de f x = x 3 - 2 x + 1 para o qual a equação da reta tangente é dada por y = x + 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x = x 3 - 2 x + 1 e nosso objetivo é obter um ponto P ∈ f de modo que a reta tangente a esse ponto seja dada pela equação y = x + 3 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

A equação da reta tangente a uma função é dada pela equação

y - y 0 = f ' P x - x 0

Onde P = x 0 , y 0 .

Portanto o que temos que fazer é derivar a função f e aplicar o ponto P fazendo x = x 0 e y = y 0 .

Depois substituímos na equação da reta tangente e descobrimos o valor de x 0 e y 0 por meio da igualdade de polinômios...

Sacou? Bora começar! 🤔

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de f ...

f ' = d x 3 - 2 x + 1 d x = 3 x 2 - 2

Fazendo x = x 0 , então

f ' P = 3 x 0 2 - 2

Substituindo na equação da reta tangente...

y - y 0 = 3 x 0 2 - 2 x - x 0

y - y 0 = 3 x 0 2 x - 3 x 0 3 - 2 x + 2 x 0

y = 3 x 0 2 - 2 x - 3 x 0 3 + 2 x 0 + y 0

Por igualdade de polinômios, comparando com a reta dada por y = x + 3 , temos

3 x 0 2 - 2 x - 3 x 0 3 + 2 x 0 + y 0 = x + 3

Ou seja, o que multiplica x nos dois lados tem que ser iguais... assim como os termos independentes.

3 x 0 2 - 2 = 1 - 3 x 0 3 + 2 x 0 + y 0 = 3

Da primeira equação tiramos que

3 x 0 2 - 2 = 1 → x 0 = ± 1

Substituindo na segunda equação...

- 3 1 3 + 2 1 + y 0 = 3 → y 0 = 4

Ou seja x = - 1

- 3 - 1 3 + 2 - 1 + y 0 = 3 → y 0 = 2

Assim encontramos dois pontos... P 1 = 1,4 e P 2 = - 1,2

Pra descobrir qual é o verdadeiro ponto temos que substituir na função f e verificar a igualdade.

Para o ponto P 1 , temos

f 1 = 4 = 1 3 - 2 1 + 1 = 0

Para o ponto P 2 , temos

f - 1 = 2 = - 1 3 - 2 - 1 + 1 = 2

Portanto, o ponto P é dado por

P = - 1,2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P = - 1,2

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