Seja k ≠ 0 . Determinar as declividades m ( θ ) das tangentes à elipse

r = f θ = k 2 - cos ⁡ θ               ( 0 ≤ θ ≤ 2 π )

em função de θ . Verificar que m ( θ ) independe de k . Quais são os pontos das tangentes horizontais? Quais são as tangentes (em forma cartesiana) para θ = π 2 e θ = 3 π 2 ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as declividades m ( θ ) das tangentes à elipse, que nada mais é do que determinar a inclinação dessas retas. Quando a gente fala em inclinação da reta, o que vem a cabeça? Derivada, né mesmo? Por isso, pra calcular essa declividade vamos usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r s in ⁡ θ

Onde d r d θ é a derivada da função r = k 2 - cos ⁡ θ em relação a θ , e r é a própria função. Então, nós vamos substituir isso na função e encontrar a declividade. Em seguida, vamos calcular as tangentes horizontais, que acontecem quando d y d x = 0 e d x d θ ≠ 0 , e as tangentes verticais, que acontecem quando d x d θ = 0 e d y d θ ≠ 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada d r d θ na função r = k 2 - cos ⁡ θ , considerando k uma constante e usando a regra do quociente na derivação:

d r d θ = k 2 - cos ⁡ θ '

d r d θ = - k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2

Agora vamos substituir esse valor junto com o valor de r na equação da declividade:

d y d x = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

d y d x = - k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ + k 2 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ - k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ - k 2 - cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Fazendo o produto entre os termos:

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 + k cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ - k sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 - k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ

Tirando o M.M.C. em cima e embaixo, temos:

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k cos ⁡ θ ) 2 - cos ⁡ θ 2 - k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k sin ⁡ θ ) 2 - cos ⁡ θ 2

Na divisão de frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda, então temos:

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k cos ⁡ θ ) 2 - cos ⁡ θ 2 ∙ 2 - cos ⁡ θ 2 - k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k sin ⁡ θ )

Simplificando:

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k cos ⁡ θ ) - k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - ( 2 - cos ⁡ θ ) ( k sin ⁡ θ )

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + 2 k cos ⁡ θ - k cos 2 ⁡ θ - k sin ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 k sin ⁡ θ + k sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Simplificando agora o denominador:

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + 2 k cos ⁡ θ - k cos 2 ⁡ θ - 2 k sin ⁡ θ

d y d x = - k sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 2 k c o s   θ - 2 k sin ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

d y d x = - k + 2 k c o s   θ - 2 k sin ⁡ θ

Colocando k em evidência:

d y d x = k ( - 1 + 2 cos ⁡ θ ) k ( - 2 sin ⁡ θ )

Simplificando:

d y d x = - 1 + 2 cos ⁡ θ - 2 sin ⁡ θ

Repare que a declividade realmente independe de k , como dito pelo enunciado.

Passo 3

Agora vamos verificar tangentes horizontais, que acontecem quando d y d θ = 0 e d x d θ ≠ 0 . Pra isso, vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Sabendo que r = k 2 - cos ⁡ θ , temos:

x = k 2 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ

y = k 2 - cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Derivando y em relação a θ , usando a regra do quociente, vamos obter:

d y d θ = k [ cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ ] 2 - cos ⁡ θ 2

Igualando a zero, vamos ter d y d θ = 0 :

k [ cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ ] 2 - cos ⁡ θ 2 = 0

O denominador não pode ser zero, então temos:

k [ cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ ] = 0

cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = 0

Aplicando a propriedade distributiva:

2 cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = 0

Colocando - 1 em evidência:

2 cos ⁡ θ - 1 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = 0

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

2 cos ⁡ θ - 1 = 0

Isolando cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = - 1 2

Para que o cosseno do ângulo θ seja igual a - 1 2 , os valores que θ pode assumir são:

θ = 2 π 3 + 2 n π

Para n = 0 ,   1 ,   2 ,   … .

Quando o ângulo assume esses valores, temos nossas retas horizontais.

Passo 4

Verificando agora as retas verticais, que acontecem quando d x d θ = 0 e d y d θ ≠ 0 . Nós vimos no passo anterior que:

x = k 2 - cos ⁡ θ cos ⁡ θ

y = k 2 - cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Derivando x em relação a θ , usando a regra do quociente, temos:

d x d θ = - 2 k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2

Igualando esse resultado a zero, temos d x d θ = 0 :

- 2 k sin ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ 2 = 0

Que implica em:

- 2 k sin ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ = 0

Para que o seno do ângulo θ seja igual a 0 , os valores que θ pode assumir são:

θ = 0 + 2 n π = 2 n π

Para n = 0 ,   1 ,   2 ,   … .

Quando o ângulo assume esses valores, temos nossas retas verticais.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d x = - 1 + 2 cos ⁡ θ - 2 sin ⁡ θ

θ = 2 π 3 + 2 n π

θ = 2 n π

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