06) Seja f x =   - x 2     ,                     x < 1 1 x             ,             x ≥   1                 f é diferenciável em x = 1 ? f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Faaala galera do Responde Aí!!

Esse exercício é bem direto, ele nos dá uma função definida por partes e nos pede para verificar se f é diferenciável e se é contínua no ponto x = 1 .

Bom, para respondermos isso precisamos lembrar que uma função diferenciável em um ponto p   possui o seguinte limite como existente e finito:

lim x → p ⁡ f x - f p x - p

Para que esse limite exista, os limites laterais precisam também ser iguais, ou seja:

lim x → p - ⁡ f x - f p x - p =   lim x → p + ⁡ f x - f p x - p

Beleza, se isso for verdade então a gente já pode dizer que a função é diferenciável, aí já matamos metade da questão!

Pra responder a segunda parte, caso ela seja diferenciável, podemos, logo de cara, afirmar que ela também será contínua (isso é o que afirma um teorema bem importante da gente não esquecer).

Agora se ela não for diferenciável, vamos precisar recorrer aos nossos limites laterais para testar se a função vai ser contínua ou não.

Massa! Agora que já demos uma resumida na estratégia de resolução, bora pros cálculos!

Passo 2

Pra começar, vamos verificar a diferenciabilidade. Calculando o primeiro limite lateral, temos:

lim x → 1 - ⁡ f x - f p x - p = lim x → 1 - ⁡ - x 2 - 1 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ - x - 2 2 x - 1 = - ∞

O problema, é que esse limite não é finito, isso por si só já significa que f não é diferenciável em x = 1 .

Não precisamos nem calcular o outro limite lateral, pois para ocorrer a diferenciabilidade a função precisa ter esses dois limites laterais finitos e iguais. Se uma dessas condições não for satisfeita, já dá ruim e ela não é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora verificar se ela é contínua.

Não podemos usar o nosso teorema, pois ele apenas afirma que se uma função é diferenciável, então ela é contínua. Mas, podem existir funções que não sejam diferenciáveis, mas sejam contínuas (exemplo: f x = | x | ).

Então, vamos precisar verificar se os limites laterais abaixo existem e são iguais:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

lim x → 1 - ⁡ f x   = lim x → 1 - ⁡ - x 2 =   - 1 2

Beleza, resolvendo o outro limite lateral:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 1 x = 1

Puts, os limites laterais são finitos mas são diferentes. Logo, f também não é contínua em x = 1 .

Resposta

f não é diferenciável ou contínua em x = 1 .

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