Seja f : R → R uma função contínua satisfazendo as seguintes propriedades:

  1. f 0 = 0 e f ( - 1 / 3 ) = - 1 / 2 ;
  2. lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ ;
  3. lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0 ;
  4. f é derivável até segunda ordem em R   { 0 } ;
  5. Existe uma função contínua g : R → R tal que g x > 0 para todo x ϵ R e
  6. f ' x = g x 3 x + 1 x 2 / 3 ,   x ≠ 0 ;

  7. Existe uma função contínua g : R → R tal que g x > 0 para todo x ϵ R e

f ' ' x = h x 9 x 2 + 6 x - 2 x 5 / 3 ,   x ≠ 0 ;

(a) Usando a Regra de L’Hospital para calcular o limite, decida se f é derivável em x   =   0 e determine, em caso afirmativo, f ' 0 .

(b) Estude f em relação a seus intervalos de crescimento e decrescimento, intervalos de concavidade, pontos de máximo e mínimo locais e globais e pontos de inflexão.

(c) Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora resolver essa questão! No item a) ele pede pra gente usar o L’Hospital pra calcular o limite. Mas vocês lembram a hipótese fundamental para que possamos usar esse artifício? Precisamos que f seja contínua no ponto em que o limite tende. Como a primeira afirmativa da questão é que f ( 0 ) = 0 , isso significa que ela é contínua em 0 e a gente pode aplicar L’Hospital tranquilamente. Sabendo disso, bora lá pela definição de L’Hospital:

lim x = → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0

Desenvolvendo:

lim x = → 0 ⁡ f x x

Agora aplicamos L’Hospital, derivando numerador e denominador. Dessa forma:

lim x = → 0 ⁡ f ' ( x )

Mas pera aí, quem é f ' ( x ) mesmo? A questão nos deu! Temos que:

f ' x = g x 3 x + 1 x 2 3 ,   x ≠ 0 ;

Logo:

lim x = → 0 ⁡ f ' ( x ) = l i m x = → 0 g x 3 x + 1 x 2 3

Ao aplicarmos o valor do limite, o denominador tende a 0 (e é estritamente positivo). O numerador por sua vez tende a g ( 0 ) > 0 . Portanto, o nosso limite é igual a:

l i m x = → 0 g x 3 x + 1 x 2 3 = + ∞

Logo f não é derivável em x = 0 (pois o limite não converge e vai pra + i n f i n i t o ).

E é isso, bora pro item b)?

Passo 2

Aqui no item b) a questão pede pra gente estudar essa função em vários aspectos. Bora lá separar e entender cada um deles. Começamos estudando primeiro as raízes do polinômio p ( x ) da função f ' ( x ) .

f ' x = g x 3 x + 1 x 2 3 ,   x ≠ 0 ;

Vamos ao teste de pontos críticos? (Esse teste vai nos dizer aonde a função cresce e decresce). No numerador, a única raíz pra esse polinômio p x = 3 x + 1 é x = - 1 3 . Sabemos disso ao calcularmos:

p x = 0

3 x + 1 = 0

x = - 1 / 3

Como x 2 / 3 é estritamente positivo se x ≠ 0 , temos que x = - 1 / 3 como único ponto crítico. Portanto, para valores menores que ele nossa função recebe valores < 0 , e em valores maiores que x = - 1 / 3 nossa função é positiva (para todo x ≠ 0 ), logo:

f x < 0 se x < - 1 / 3

f x > 0 se - 1 / 3 < x < 0 ou x > 0

Passo 3

Passo 4

Ainda no item b), como f é contínua, significa que ela não tem descontinuidades (fala sério?!) Mas calma, dizer que não tem descontinuidades significa dizer que o nosso ponto de inflexão dita aonde a função é crescente (derivada da função no intervalo é positiva) e decrescente (derivada da função no intervalo é negativa). Como o nosso ponto crítico é x = - 1 / 3 , logo nossa função é:

d e c r e s c e   e m   ] - ∞ , - 1 / 3 ]

c r e s c e n t e   e m   [ - 1 3 , + ∞ [

Passo 5

Pra gente matar o item b ) , vamos atras das concavidades da função. Pra acharmos essas concavidades precisamos da derivada segunda da função. Se a primeira derivada nos diz pontos críticos da função, a derivada segunda nos diz sobre concavidades e pontos de inflexão. E o melhor de tudo é que a questão já nos deu a derivada segunda da função. Saca só:

f ' ' x = h x 9 x 2 + 6 x - 2 x 5 / 3 ,   x ≠ 0 ;

Semelhantemente ao passo 2, vamos analisar essa função no numerador e denominador. No numerador temos essa parábola:

9 x 2 + 6 x - 2

Procurando as raízes dela:

9 x 2 + 6 x - 2 = 0

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 36 + 72

Δ = 108

As raízes reais para esse polinômio são:

x 1 = - 1 - 3 3

x 2 = - 1 + 3 3

Para o denominador, a única raiz é:

x 3 = 0

E esses pontos são justamente pontos de inflexão (mas jaja te conto mais sobre isso). Como temos 3 pontos de inflexão, a função tem 4 mudanças de concavidade (sempre a quantidade de pontos de inflexão + 1). E essas mudanças de concavidade (pelo sinal das raízes) vão acontecer justamente em: Para concavidades para baixo:

] - ∞ ,   x 1 ]   e   [ x 3 , x 2 ]

Concavidade para cima:

[ x 1 ,   x 3 ]   e   [ x 2 , + ∞ [

Substituindo: Para concavidades para baixo:

] - ∞ ,   - 1 - 3 3 ]   e   [ 0 , - 1 + 3 3 ]

Concavidade para cima:

[ - 1 - 3 3 ,   0 ]   e   [ - 1 + 3 3 , + ∞ [

Passo 6

E por fim, para desenharmos um esboço da função, vamos reunir todas as infos que a gente tem:

Concavidades:

Para concavidades para baixo:

] - ∞ ,   - 1 - 3 3 ]   e   [ 0 , - 1 + 3 3 ]

Concavidade para cima:

[ - 1 - 3 3 ,   0 ]   e   [ - 1 + 3 3 , + ∞ [

Ângulo da função:

d e c r e s c e   e m   ] - ∞ , - 1 / 3 ]

c r e s c e n t e   e m   [ - 1 3 , + ∞ [

Então o gráfico da função é algo como:

Resposta

a)

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