Seja f : R → R tal que f ( 1 )   = − 1 ,   f ( 2 )   =   2 e existe k ∈ R de modo que para todos a   >   0   e b   >   − a temos

f ( a   +   b )   −   f ( a )   = k b a   2   +   a b .

Então f   ′   ( 3 ) é igual a: a. 1/6; b. 1/3; c. 1/2; d. 2/3; e. 5/6.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular f   ′   ( 3 ) na seguinte situação: Seja f : R → R tal que f ( 1 )   = − 1 ,   f ( 2 )   =   2 e existe k ∈ R de modo que para todos a   >   0   e b   >   − a temos

f ( a   +   b )   −   f ( a )   = k b a   2   +   a b .

Vamos utilizar as informações oferecidas para encontrar o valor de k , e também manipular essa expressão para chegar no formato da derivada por definição e calcular f   ′   ( 3 ) . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o valor de k , para isso vamos tomar a = 1 e b = 1 , pois temos que f ( 1 )   = − 1 ,   f ( 2 )   =   2 , assim

f ( a   +   b )   −   f ( a )   = k b a   2   +   a b

f ( 2 )   −   f ( 1 )   = k ( 1 ) 1   2   +   ( 1 ) ( 1 )

2   −   ( - 1 )   = k 2

k = 2 ( 3 ) = 6

Assim, encontramos o valor de k .

Passo 3

Agora,vamos manipular a expressão:

f ( a   +   b )   −   f ( a )   = k b a   2   +   a b

temos que se dividirmos ambos os lados por b , e tomarmos o limite b tendendo a zero

l i m b → 0 f ( a   +   b )   −   f ( a ) b   = l i m b → 0 k a   2   +   a b

chegamos na forma da derivada por definição de f ( a ) , então temos que

f ' ( 3 ) = l i m b → 0 f ( 3   +   b )   −   f ( 3 ) b   = l i m b → 0 6 3 2   +   3 b = 6 9 = 2 3

.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d. 2 3 .

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