Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   f ( a ) ) é a (única) reta que passa pelo ponto ( a ,   f ( a ) ) e tem inclinação igual a

f ’ ( a )   =   lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

quando o limite existe. Neste caso, a equação da reta tangente y   =   y ( x ) é dada por y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a ) .

Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f   '   ( a ) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.

(a) f ( x )   =   2 x ² , no ponto ( 3 ,   f ( 3 ) )

Passo 1

Faaala galera, nesse exercício vamos calcular a reta tangente a uma função no ponto a ,   f a .

Calculemos nossa inclinação primeiro:

f ’ a =   lim x → a ⁡ f x - f a x - a =   lim x → a ⁡ 2 ( x ) ² - 2 ( a ) ² x - a = lim x → a ⁡ 2 ( x - a ) ( x + a ) x - a = lim x → a ⁡ 2 x + 2 a = 4 a

Logo, f ’ 3 = 12

Passo 2

Agora, só precisamos aplicar os valores relativos ao ponto ( 3 ,   f ( 3 ) ) na fórmula da reta tangente:

y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a )

y   -   2 ( 3 ) ²   =   4 ( 3 ) ( x   -   3 )

y   -   18   =   12 ( x   -   3 )

Eis a nossa reta, questão finalizada 😉

Resposta

a )   f ' 3 = 1 2 ;   r e t a :     y   -   18   =   12 ( x   -   3 )

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