(8) Suponha que f é diferenciável em x . Mostre que

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h 2 h

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos mostrar que se f é uma função diferenciável em x , então a equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h 2 h

É válida para calcular a derivada de f .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pela definição da derivada a derivada de f x é dada por

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E a partir dessa equação temos que obter a equação dada no enunciado.

Bora ver como fazemos isso! 😉

Passo 2

Podemos escrever f ' x pela definição também pela equação

f ' x = lim h → 0 ⁡ - f x - h + f x h

Assim, somando os dois modos de calcular f ' x e dividindo por dois, temos

f ' x + f ' x 2 = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h + lim h → 0 ⁡ - f x - h + f x h 2

Como lim ⁡ a + lim ⁡ b = lim ⁡ a + b

2 f ' x 2 = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h + - f x - h + f x h 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h + - f x - h + f x h 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - f x - h + f x h 2

Simplificando...

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h h 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h 2 h

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x - h 2 h

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